º ~ Teoria de juegos

FUNDAMENTOS

Teoría de juegos

En esencia es una técnica para tomar decisiones en situaciones de conflicto sobre la base de la construcción de una matriz formal que permite comprender el conflicto y sus posibles soluciones. Su aplicación es apropiada para problemas donde quienes toman las decisiones no poseen un control completo de los factores que influyen en el resultado, pero dónde se presentan influencias y determinaciones mutuas en las actuaciones reciprocas de los individuos u organizaciones sociales involucrados. La teoría de juegos tiene una relación muy lejana con la estadística. Su objetivo no es el análisis del azar o de los elementos aleatorios sino de los comportamientos estratégicos de los jugadores.Un ejemplo es la figura que se muestra acontinuacion juego de la ruleta.

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Valor del juego

Se llama al valor del juego al pago que un jugador tiene garantizado que puede recibir de un juego si toma una decisión racional, independientemente de las decisiones de los demás jugadores. Ningún jugador aceptará formar parte de una coalición si no recibe como pago al menos el valor del juego.

Paraboloide hiperbólico
Al paraboloide hiperbólico también se lo denomina silla de montar por su gráfica. Tiene la peculiaridad de contener rectas en su superficie.

Estos criterios sirven para obtener la solución de un juego y determinar la estrategia óptima de un jugador:

Criterio Maximín: Identifica los mínimos por renglón y selecciona el mayor.

Criterio Mínimax: Identifica los máximos por columna y selecciona el menor.

Si el valor maximín del primer jugador es igual al mínimax del segundo jugador, entonces el juego es de estrategia pura (existe un punto de silla de montar). El valor del juego para el primer jugador es su valor maximín.

Por ejemplo: Dos gasolineras se encuentran una frente a la otra.

Los consumidores están pendientes del precio y cada gasolinera debe decidir si cobra un precio alto o uno bajo. La matriz de recompensas es la siguiente:

Resolviendo y aplicando los criterios maximín y minimax:

Dado que el valor maximín del primer jugador es igual al mínimax del segundo jugador, entonces el juego es de estrategia pura (existe un punto de silla de montar). Ambos jugadores escogen bajar sus precios. El valor del juego para el primer jugador es 0 y para el segundo jugador también.

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Matriz de pago

Es una matriz que resume la información dada por las funciones de pago en un juego rectangular o en un juego extensivo en su forma normal.

Ejemplo.

Consideremos el juego piedra, papel o tijera, donde el perdedor debe pagar una unidad monetaria al ganador y en caso de empate no hay pago para ninguno. La siguiente tabla puede considerarse una matriz de pagos para el juego:

Si numeramos las estrategias piedra, papel y tijera como 1, 2 y 3 respectivamente, la matriz de pagos será por definición:

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Estrategia

Una estrategia es la descripción completa de una forma determinada de jugar, dependiente de lo que hacen los demás jugadores y de la duración del juego. Para cualquier juego entre dos personas, se puede representar cada secuencia posible del juego como una casilla en una tabla. La tabla deberá poseer tantas filas como estrategias tenga un jugador, y una columna por cada estrategia del otro jugador. Si se estructura un juego de esta manera, se dice que está en forma normal.

		JUGADOR UNO
		ESTRATEGIA 1	ESTRATEGIA 2
JUGADOR DOS	ESTRATEGIA 1	XXXXXX	XXXXXX
JUGADOR DOS	ESTRATEGIA 2	XXXXXX	XXXXXX

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Estrategia Aleatorizado

Es una combinación de dos estrategias escogidas a azar, una cada vez, según determinadas probabilidades, en contraste con una estrategia pura que no contiene tales elementos de azar.

Ejemplo: Suponga el siguiente juego:

Resolviendo y aplicando los criterios maximín y minimax:

Se observa que el valor minimax de un jugador 2 no es igual al maximín del jugador 1. El jugador 2 selecciona la estrategia A y el jugador 1 la estrategia X.

Estrategia dominante

Se dice que un jugador posee una estrategia dominante si una estrategia particular es preferida a cualquier otra estrategia a disposición de él. Es posible que cada uno de los dos jugadores tenga estrategia dominante.

Ejemplo: Observe la siguiente matriz de resultados:

Independientemente de lo que haga el Jugador 1, para el jugador 2 siempre será preferible la estrategia X. Se dice que la estrategia X domina a la estrategia Y. el jugador 2 nunca escogerá la estrategia Y.

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Juego de suma cero

Son los juegos dónde un jugador gana sólo si el otro pierde y no es posible cooperación alguna (y dónde de alguna manera se genera una «guerra abierta»). El mejor ejemplo de esto es el póquer, donde los jugadores ponen el dinero en el centro, y alguien se lo lleva todo cuando gana. Nadie gana un solo peso que otro no haya perdido. La mayoría de los juegos de ocio son de tipo suma cero. Es válido incluso para aquellos en los que no interviene el dinero.

JUGADORES	JUGADOR B
JUGADOR A	Estrategias	B1	B2
	A1	-X	X
	A2	Y	Y

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Punto de silla

Un punto de silla es un pago que es simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna. Para encontrar puntos de silla, Encierre en círculo los mínimos de todos los renglones y meta en caja las máximas de todas las columnas. Los puntos de silla son aquellas entradas que son simultáneamente en círculo y en caja.

Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos un punto de silla. Las siguientes declaraciones se aplican a los juegos estrictamente determinados:

Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.

Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.

El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no, es injusto o parcial.

Ejemplo

En el juego más arriba, hay dos puntos de silla, mostrados en color.

Pues son cero los puntos de silla, es un juego justo.

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